חשמל ומגנטיות תשע"ה תרגול 3 פוטנציאל חשמלי ואנרגיה אלקטרוסטטית

Transcript

1 חשמל ומגנטיות תשע"ה תרגול 3 פוטנציאל חשמלי ואנרגיה אלקטרוסטטית הפונציאל החשמלי בעבור כל שדה וקטורי משמר ישנו פוטנציאל סקלרי המקיים A = φ הדבר נכון גם כן בעבור השדה החשמלי וניתן לרשום E = φ (1) סימן המינוס הוא עניין של מוסכמה. כמו כן ניתן לרשום את הפוטנציאל החשמלי בצורה האינטגרלית על ידי שימוש באינטגרל קווי r φ (x) = E dl () מספר נקודות חשובות לגבי הפוטנציאל 1.פוטנציאל חשמלי ואנרגיה פוטנציאלית אלה שתי ישויות שונות וחשוב להפריד בין השניים.. למה בכלל להשתמש בפוטנציאל חשמלי? 1

2 שימו לב שהפוטנציאל החשמלי הוא פונקציה סקלרית לכל דבר ועניין אבל מתוך הפונקציה הסקלרית הזאת אנו יכולים לקבל את השדה החשמלי הוקטורי זאת אומרת במקום לדעת את שלושת רכיבי השדה, E x, E y, E z אנו רק צריכים לדעת את φ ועל ידי הפעלת אופרטור הגרדיאנט נקבל את שלושת רכיבי השדה החשמלי. E = φ כדי לדעת איך זה יכול להיות שבתוך פונקציה סקלרית חבוי מידע שמספיק כדי לתאר בצורה מלאה פונקציה וקטורית, צריך לשים לב שיש לנו ידע מוקדם על הפונקציה הוקטורית שלנו שמוריד לנו דרגות חופש של הבעיה: E = 0 ואם נרשום לפי הרכיבים, נקבל כי E x y = E y x, E z y = E y z, E x z = E z x מה שמוריד את דרגות החופש מ 3 לאחת. 3. כאשר אנו מגדירים פוטנציאל, תמיד חשוב להגדיר מה הפוטנציאל בין נקודות במרחב, האחת היא הנקודה שבה אנו מודדים והשניה היא נקודת כיול כלשהי אשר מוסכמת על כולם. r בגלל ברוב המקרים הפוטנציאל באינסוף מתאפס. ההגדרה המקובלת לפוטנציאל בפיסיקה מקובל להגדיר את נקודת הכיול כפוטנציאל באינסוף וכך אנו מקבלים את r φ (x) = E dl נשים לב שישנם מקרים בהם הכיול הזה לפוטנציאל "בעייתי". נקח לדוגמא לוח אינסופי טעון בצפיפות מטען משטחית σ, השדה ליד הלוח הוא E = σ ε 0 ẑ כאשר ẑ הוא הכיוון הניצב ללוח. נציב את השדה במשוואה () ונקבל z φ (z) = σ dz = σ (z ) ε 0 ε 0

3 ואנו רואים שהפוטנציאל "מתפוצץ" וזה לא טוב. למה זה קרה ומה עושים במקרה כזה? הפיתרון לכך הוא די פשוט, נבחר נקודת כיול אחרת, אין חשיבות מיוחדת לנקודת הכיול כל עוד היא זהה בכל פעם שבודקים פוטנציאל. הסיבה לכך שהפוטנציאל "התפוצץ" נובעת מכך שהשדה החשמלי הוא לא בדיוק פיסיקלי, היות ואין באמת בעולם לוח אינסופי. לכן צריך לשים לב, אם יש לנו גוף טעון בעל מימד אינסופי כלשהו נצטרך לקחת נקודת כיול שהיא לא באינסוף בכל שאר המקרים, נקודת כיול באינסוף תהיה בסדר גמור. 4. ניתן להשתמש בעיקרון הסופרפוזיציה על פוטנציאל φ = φ 1 + φ + φ היחידות הפיסיקליות של פוטנציאל הן אנרגיה לחלק במטען ונקראות בשם וולט V olt = Joule Coulomb = 10 9,λ מצא את [ C m תרגיל 1 ] נתון תייל השוכן לאורך ציר ẑ בעל התפלגות מטען קווית הפרש הפוטנציאלים φ (בין AB הנקודות A ו ( B כאשר A = ( [m], π/, 0) B = (4 [m], π, 5 [m]) פתרון אנו יודעים כי השדה החשמלי של תייל טעון הוא E = λ πε 0 r r 3

4 נציב את השדה במשוואה האינטגרלית של הפוטנציאל החשמלי A φ AB = B E d l φ AB = A B נרשום זאת בצורה מפורשת בקוארדינטות גליליות ( ) A λ πε 0 r, 0, 0 λ (dr, rdϕ, dz) = πε 0 r dr B = λ πε 0 (ln () ln (4)) = 6.4 [V ] משוואת פואסון עד עכשיו ראינו, במקרה שנתון לנו פוטנציאל איך ניתן לקבל את השדה החשמלי. כעת אנו נראה איך מפוטנציאל ניתן לקבל גם כן את התפלגות צפיפות המטען במרחב, נעשה זאת על ידי שימוש בשתי משואות שראינו בעבר E = φ E = ρ ε 0 לקבלת משוואת פואסון φ = ρ ε 0 (3) ובמקרה שאין מטענים במרחב, את משוואת לפלס φ = 0 4

5 נקודה חשובה הלפלסיאן בעבור הקוארדינטות השונות מוגדר כך בעבור קוארדינטות קרטזיות, גליליות וכדוריות בהתאמה: φ = φ x + φ y + φ z φ = 1 ( r φ ) + 1 φ r r r r ϕ + φ z φ = 1 r r ( r φ r ) ( 1 + r sin (θ) θ sin (θ) φ θ ) 1 φ + r sin (θ) ϕ תרגיל נתון פוטנציאל חשמלי, מצא את ההתפלגות המטען במרחב φ (x, y, z) = 1xz + e sin(z) + sin(y) פתרון φ = sin (y) + cos (z) e sin(z) sin (z) e sin(z) ρ = ε 0 φ = ε 0 ( sin (y) + cos (z) e sin(z) sin (z) e sin(z)) ρ = ε 0 ( sin (y) cos (z) e sin(z) + sin (z) e sin(z)) 5

6 להפוך את משוואת פואסון במשוואת פואסון השתמשנו בכדי לעבור מפוטנציאל להתפלגות מטען אבל בהרבה מהמקרים אנו רוצים דווקא את הכיוון ההפוך. הפיתוח נעשה במהלך ההרצאה וכאן אני מביא רק את הביטוי הסופי φ (r) = 1 ρ ( r ) dv 4πε 0 r r (4) כדי לראות את החשיבות של המשוואה הזאת אנו צריכים להשוות אותה לביטוי של השדה החשמלי E (r) = 1 ρ ( r ) (r r ) dv 4πε 0 r r שימו לב שביטוי לשדה חשמלי צריך תמיד להתחשב בווקטור הכיוון בין המטען למקום המדידה אך בעבור הפוטנציאל זה לא חשוב כל עוד אנו יודעים את המרחק בין הווקטורים בערך מוחלט. דבר שהרבה יותר קל לנו לחשב. סיכום קטן אחרי שקיבלנו הרבה משוואות שמשקשרות בין שדה חשמלי צפיפות מטען ופוטנציאל נרצה לעשות קצת סדר בבלאגן ובשביל זה יש את הגרף הבא שמתאר באיזו משוואה צריך להשתמש כדי לעבור בין הישויות הפיסקליות. 6

7 תרגיל 3 נתונה טבעת דקה ברדיוס [m] שמרכזה בראשית הצירים והיא שוכבת במישור x, y הטבעת טעונה בצורה אחידה במטען של [nc] 40 סך הכל. א. מצא את הפוטנציאל בנקודה [m] (5,0),0 ב. מצא את הפוטנציאל באותה הנקודה אך הפעם במקום טבעת דקה ישנו מטען נקודתי בראשית הצירים בעל אותו המטען. פתרון א. נתחיל בלרשום את משוואה (4) שהיא המקשרת בין מטען לפוטנציאל φ (r) = 1 ρ ( r ) dv 4πε 0 r r כעת נרשום את הווקטורים r ו r בצורה מפורשת. הווקטור r מייצג את המרחק מראשית הצירים לנקודת המדידה שלנו ולכן r = (0, 0, 5) [m] 7

8 והווקטור r מייצג את המרחק מראשית הצירים למטען, במקרה שלנו המטען נמצא על טבעת ולכן בקוארדינטות גליליות נרשום כך r = (, 0, 0) [m] וסך המרחק בין שני הווקטורים הוא r r = (0, 0, 5) (, 0, 0) = 9[m] בשלב הבא, נצטרך למצוא את צפיפות המטען של הטבעת (נתון לנו רק המטען הכולל). אך זהו תהליך פשוט שבו נצטרך לחלק את סך המטען באורך הטבעת ρ = [C] π [m] = 10 8 π [ C m] כעת נחזור למשוואה של הפוטנציאל ונשים לב שכאן אנו סוכמים על מסלול קווי של טבעת ולכן dϕ dl = r dϕ = φ (r) = 1 4πε 0 π dϕ π 9 = 66.9 [V ] ב. בשביל למצוא פוטנציאל של מטען נקודתי אין לנו צורך באינטגרציה ונשתמש במשוואה של פוטנציאל של מטען נקודתי φ (r) = 1 4πε 0 q r = πε 0 5 = 7 [V ] אנרגיה אלקטרוסטטית ניתן להשתמש בפונקצית הפוטנציאל גם כדי למצוא את האנרגיה האלקטרוסטטית U = 1 ρ ( ) r φ ( ) r dv = ε 0 ( ) ε 0 φ dv = E dv 8

9 שימו לב האנרגיה האלקטרוסטטית ריבועית בשדה ) U )ולכן E אם נחשב אנרגיה של שדה אחד E 1 ושל שדה E לא נוכל לחבר אותם יחד לקבלת סך האנרגיה. אלא צריך לסכום את השדות ורק אז לבדוק את האנרגיה האלקטרוסטטית הכוללת. U total = ε 0 E dv = ε 0 = U 1 + U + ε 0 E 1 E dv (E 1 + E ) dv = ε 0 (E 1 + E + E 1 E ) dv = נסתכל על מספר דוגמאות: תרגיל 4 נתון פוטנציאל ] [V,φ = (x + 4y) מצא את האנרגיה האגורה במטר מעוקב m 3 במרחב. E = φ = פתרון נתחיל במציאת השדה החשמלי ( x, y, ) (x + 4y) = x 4ŷ z U = ε 0 E dv = ε וכעת נציב במשוואה לאנרגיה אלקטרוסטטית ( + 4 ) dxdydz = 10ε 0 = π [J] תרגיל 5 ישנם שני גלילים חלולים אינסופיים בציר ẑ בעלי רדיוס של [m] r 1 = 0.01 בעבור הגליל הראשון ו [m] r = 0.05 בעבור הגליל השני. שני הגלילים מרכז משותף. בין הגלילים שורר שדה חשמלי אחיד בגודל = (r) E 10 5 ל. r r מה האנרגיה האגורה בחצי מטר של המבנה הזה לאורך ציר? ẑ 9

10 פתרון U = ε 0 E dv = ε 0 h+0.5π 0.05 h ( ) 10 5 rdrdφdz = r = ε 0 (ln (0.05) ln (0.01)) π (h h) 1010 = ε 0π ln (5) 1010 = 0.4 [J] 10